孔在圆柱杯高 1/2h处 时水柱射程最远，是伯努利原理（流速来源） 与平抛运动规律（射程构成） 共同作用的结果，通过数学推导可证明，射程作为孔位高度的二次函数，其最大值恰好对应孔位为总高的中点，且该结论仅在“满水、忽略粘滞阻力、孔面积远小于杯横截面积”的理想条件下成立。

一、前提假设（明确推理边界，避免误差）

1. 圆柱杯总高度为 h ，横截面积为 S ，孔的面积为 s ，且 s \ll S （保证孔出水时，杯内水面下降速度极慢，可近似认为孔上方水柱高度 H 瞬间不变，即“定常流动”）； 2. 忽略水的粘滞阻力和空气阻力（实际中阻力会使射程略减，但不影响极值位置的判断）； 3. 水为理想流体，满足机械能守恒； 4. 孔处水流水平射出（侧壁打孔方向垂直于杯壁，竖直方向初速度为0，仅做平抛运动）。

二、关键物理规律与推导（分步拆解，每一步附依据）

  1. 孔处水流速度 v 的推导（依据：伯努利原理+机械能守恒）

伯努利原理的核心公式：对于理想流体的定常流动，同一流线上任意两点的压强能、动能、势能之和为常数，即： p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2

  • 选取两点：点1（杯内水面处）、点2（孔的出口处）；
  • 各物理量分析：
  • 压强：两点均与大气压相通，故 p_1 = p_2 = p_0 （大气压，可抵消）；
  • 速度：因 s \ll S ，水面下降速度 v_1 \approx 0 （类比：大水管接小龙头，龙头出水快，水管内水流慢）；
  • 高度：以孔所在平面为参考面，点1的高度为 H （孔到水面的距离），点2的高度 z_2 = 0 ；

  • 代入公式化简： p_0 + 0 + \rho g H = p_0 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + 0 消去 p_0 和 \rho ，得孔处水流速度： \boxed{v = \sqrt{2gH}} （此式也叫“托里拆利公式”，本质是机械能守恒的体现：上方水柱的重力势能转化为孔处水的动能）

  • 水流下落时间 t 的推导（依据：平抛运动的竖直分运动规律）

水流从孔射出后，水平方向不受力（忽略空气阻力），做匀速直线运动；竖直方向仅受重力，做自由落体运动（初速度为0）。

  • 竖直方向下落的位移：孔到杯底的高度，即 y = h - H （ h 为杯总高， H 为孔到水面的高度）；
  • 自由落体位移公式： y = \frac{1}{2} g t^2 （初速度 v_{y0} = 0 ）；

  • 解下落时间 t ： t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \boxed{\sqrt{\frac{2(h - H)}{g}}}

  • 水平射程 s 的推导（依据：平抛运动的水平分运动规律）

平抛运动的水平射程 = 水平方向匀速运动的位移，即： s = v \times t （水平速度 v 不变，时间 t 为下落时间）

  • 代入 v = \sqrt{2gH} 和 t = \sqrt{\frac{2(h - H)}{g}} ： s = \sqrt{2gH} \times \sqrt{\frac{2(h - H)}{g}}

  • 化简计算： 根号内相乘： 2gH \times \frac{2(h - H)}{g} = 4H(h - H) ，故： \boxed{s = 2\sqrt{H(h - H)}}

  • 射程最大值的位置（依据：二次函数极值规律/均值不等式）

射程 s 的大小由根号内的表达式 f(H) = H(h - H) 决定（因2是常数， s 与 \sqrt{f(H)} 成正比，故 f(H) 最大时， s 最大）。

方法1：二次函数极值分析

将 f(H) = H(h - H) 整理为标准二次函数形式： f(H) = -H^2 + hH

  • 二次函数通用形式： f(x) = ax^2 + bx + c （此处 x = H ， a = -1 ， b = h ， c = 0 ）；
  • 因 a = -1 < 0 ，函数图像为“开口向下的抛物线”，顶点处取得最大值；
  • 顶点横坐标（即最大值对应的 H ）： H = -\frac{b}{2a} = -\frac{h}{2 \times (-1)} = \boxed{\frac{h}{2}}

方法2：均值不等式（更简洁的直观推导）

对于正数 A 和 B ，有 A \times B \leq \left( \frac{A + B}{2} \right)^2 （当且仅当 A = B 时，等号成立，乘积最大）；

  • 令 A = H ， B = h - H ，则 A + B = h （常数）；
  • 当 H = h - H 时， H \times (h - H) 最大，解得 H = \frac{h}{2} 。

三、补充说明（解释实际场景与理想模型的差异）

1. 若考虑水的粘滞阻力，实际流速会略小于 \sqrt{2gH} ，但阻力对不同孔位的影响比例相近，极值位置仍接近 1/2h ； 2. 若杯内水面下降较快（孔面积较大， s 不满足远小于 S ）， H 随时间减小，需用变质量流动分析，但瞬时极值仍对应 H = 1/2h ； 3. 若孔不是水平打孔（有竖直初速度），射程公式会变化，极值位置也会偏离中点，这进一步印证了“水平平抛+理想流体”是极值在1/2h处的核心前提。